Resposta: [tex]\boldsymbol{u_n=\frac{6n+5}{2n}}[/tex] é monótona decrescente.
Vamos lá. Pelo estudo de sucessões monótonas, sabe-se que:
[tex]\text{$u_{n+1}-u_n > 0\implies\rm u_n~\acute{e}$ mon$\rm\acute{o}$tona crescente.}[/tex]
[tex]\text{$u_{n+1}-u_n = 0\implies\rm u_n~\acute{e}$ mon$\rm\acute{o}$tona constante.}[/tex]
[tex]\text{$u_{n+1}-u_n < 0\implies\rm u_n~\acute{e}$ mon$\rm\acute{o}$tona decrescente.}[/tex]
Então, dado a seguinte sucessão:
[tex]u_n=\dfrac{6n+5}{2n}[/tex]
Segue que:
[tex]\text{$u_{n+1}=\dfrac{6(n+1)+5}{2(n+1)}=\dfrac{6n+6+5}{2n+2}=\dfrac{6n+11}{2n+2}$}[/tex]
[tex]\therefore[/tex]
[tex]\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n+11}{2n+2}-\dfrac{6n+5}{2n}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{n(6n+11)}{2n(n+1)}-\dfrac{(n+1)(6n+5)}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n^2+11n}{2n(n+1)}-\dfrac{6n^2+11n+5}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{6n^2+11n-6n^2-11n-5}{2n(n+1)}\\\\u_{n+1}-u_n=-\dfrac{5}{2n(n+1)}\end{array}[/tex]
Analisando apenas o seu denominador, vemos que, obrigatoriamente, [tex]2n(n + 1) > 0[/tex] para todo n pertencente aos naturais com n ≠ 0. Todavia, como - 5 está sendo dividido por 2n(n + 1), então [tex]-\frac{5}{2n(n + 1)} < 0[/tex] para todo n pertencente aos naturais com n ≠ 0.
Portanto, a sucessão é monótona decrescente.
