Resposta:
[tex]y=-\frac{1}{2}x+1[/tex]
Explicação passo a passo:
Sendo [tex]f(x)=1/(1+x^2)[/tex], o coeficiente angular da reta tangente no ponto [tex]x=1[/tex] é [tex]f'(1)[/tex]. Temos que:
[tex]f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{d}{dx}\left((1+x^2)^{-1}\right)[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{d}{dx}(1+x^2)\cdot(-1)\cdot(1+x^2)^{-1-1}[/tex]
[tex]f'(x)=-2x\cdot(1+x^2)^{-2}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}[/tex]
Daí tiramos que:
[tex]f(1)=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]f'(1)=-\frac{2}{(1+1^2)^2}=-\frac{1}{2}[/tex]
Concluindo assim que a equação da reta tangente é:
[tex]\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)[/tex]
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)[/tex]
[tex]y=-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}[/tex]
[tex]y=-\frac{1}{2}x+1[/tex]
