Resposta :
A relação solicitada entre os comprimentos dos dois fios metálicos, de cobre e de constantan é de aproximadamente 28,8.
Esse é um problema de aplicação dos conceitos de resistência e resistividade. A relação matemática entre essas duas grandezas é também conhecida como segunda lei de Ohm e pode ser escrita como:
[tex]\boxed{\large\text{$R = \rho \cdot \dfrac{L}{A}$}} \ \sf (I)[/tex]
- [tex]\large\text{$R $}[/tex] ⇒ é a resistência elétrica de um pedaço de fio condutor.
- [tex]\large\text{$\rho $}[/tex] ⇒ é a resistividade do material do qual é feito o fio.
- [tex]\large\text{$L $}[/tex] ⇒ é o comprimento do fio.
- [tex]\large\text{$A $}[/tex] ⇒ é a área da seção transversal do fio.
Para solucionar o problema, começamos escrevendo a equação (I) para os dois pedaços de fio.
[tex]\boxed{\large\text{$R_1 = \rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A_1}$}} \ \ \ \text{e} \ \ \ \boxed{\large\text{$R_2 = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A_2}$}}[/tex]
O enunciado informa que os dois fios têm a mesma resistência elétrica e, portanto, podemos igualar as duas equações acima.
[tex]\large\text{$\rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A_1} = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A_2}$}[/tex]
Também foi informado que os dois fios possuem mesma área de seção transversal, que chamaremos simplesmente de A. Então,
[tex]\large\text{$\rho_{Cobre} \cdot \dfrac{L_1}{A} = \rho_{Const} \cdot \dfrac{L_2}{A}$}[/tex]
Multiplicando ambos os lados por A,
[tex]\large\text{$\rho_{Cobre} \cdot L_1 = \rho_{Const} \cdot L_2$}[/tex]
Podemos escrever,
[tex]\boxed{\large\text{$ \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{\rho_{Const}}{\rho_{Cobre} }$}}[/tex]
Finalmente, substituímos os valores das resistividades dos materiais,
[tex]\large\text{$ \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{4{,}9 \times 10 ^{-7}}{1{,}7 \times 10 ^{-8}} $}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\large\text{$ \dfrac{L_1}{L_2} \simeq 28{,}8$}}}[/tex]
E concluímos que a razão entre os comprimentos dos fios de cobre e de constantan é aproximadamente 28,8.
OBS: O resultado nos mostra que para um fio de cobre ter a mesma resistência elétrica que um fio de constantan de mesmo diâmetro, ele deverá ser quase 30 vezes maior.
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