Seja a PG de três termos dada por
[tex]PG=(a_1,\,a_1\cdot q,\, a_1\cdot q^2)[/tex]
Do enunciado sabemos que
[tex]a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=26[/tex]
Ainda do enunciado temos que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética, então montamos também a seguinte PA
[tex]PA=(a_1,\,2a_1\cdot q,\,3a_1\cdot q^2)[/tex]
Como em uma PA a média dos temos dos extremos é igual ao termo do meio, aplicamos isso a PA obtida, logo
[tex]\dfrac{a_1+3a_1\cdot q^2}{2}=2a_1\cdot q\\\\\\\dfrac{a_1(1+3q^2)}{2}=2a_1\cdot q[/tex]
Perceba que o [tex]a_1[/tex] aparece em todos os termos da PA e da PG, então temos que [tex]a_1\neq0[/tex], podemos então simplificar o [tex]a_1[/tex] em ambos os lados da equação, segue que
[tex]\dfrac{1+3q^2}{2}=2q\\\\\\\Rightarrow 1+3q^2=4q\\\\\\\Rightarrow 3q^2-4q+1=0[/tex]
Ao resolvermos a equação do segundo grau em q, obtemos como solução
[tex]q=\dfrac{1}{3}[/tex] e [tex]q=1[/tex]
Caso q=1, então
[tex]a_1+a_1\cdot1+a_1\cdot1^2=26\\\\\\\Rightarrow 3a_1=26\\\\\\\Rightarrow a_1=\dfrac{26}{3}[/tex]
Porém os números formados pela PA e PG são números inteiros e esse não é um número inteiro, logo q=1 não serve
Caso [tex]q=\dfrac{1}{3}[/tex], então obtemos o primeiro termo
[tex]a_1+a_1\cdot\dfrac{1}{3}+a_1\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=26\\\\\\\Rightarrow a_1+a_1\cdot\dfrac{1}{3}+a_1\cdot \dfrac{1}{9}=26\\\\\\\Rightarrow \dfrac{9a_1+3a_1+a_1}{9}=26\\\\\\\Rightarrow 13a_1=9\cdot26\\\\\\\Rightarrow 13a_1=234\\\\\\\Rightarrow a_1=\dfrac{234}{13}\\\\\\\Rightarrow a_1=18[/tex]
O segundo termo vale
[tex]a_2=a_1\cdot q\quad\mbox{para}\,\,\,a_1=18\,\,\,\mbox{e}\,\,\,q=\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_2=18\cdot\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_2=6[/tex]
O terceiro termo vale
[tex]a_3=a_1\cdot q\quad\mbox{para}\,\,\,a_1=18\,\,\,\mbox{e}\,\,\,q=\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_3=18\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\\\\\\\Rightarrow a_3=18\cdot\dfrac{1}{9}\\\\\\\Rightarrow a_3=2[/tex]
Por fim os três números são
[tex]\Huge{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{18,\,6,\,2}}}}}[/tex]
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