Olá, boa tarde.
Sejam [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] as raízes da equação [tex]3x^2-4x+7=0[/tex]. Devemos determinar o valor da expressão: [tex]2x_1x_2-3(x_1+x_2)[/tex].
Para isso, utilizaremos as relações de Girard. Dada uma equação quadrática de coeficientes reais [tex]ax^2+bx+c=0,~a\neq0[/tex], ao dividirmos ambos os lados da equação pelo coeficiente [tex]a[/tex], teremos:
[tex]x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0[/tex]
Estas relações nos permitem determinar, de acordo com a fórmula da soma e produto [tex]x^2-Sx+P=0[/tex] que a soma [tex]S[/tex] das raízes é calculada por [tex]-\dfrac{b}{a}[/tex] e seu produto é calculado por [tex]\dfrac{c}{a}[/tex].
Dessa forma, divida ambos os lados da equação por um fator [tex]3[/tex]
[tex]x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}=0[/tex]
Facilmente podemos observar que, consoante às relações de Girard que a soma das raízes é dada por [tex]x_1+x_2=\dfrac{4}{3}[/tex] e seu produto é dado por [tex]x_1x_2=\dfrac{7}{3}[/tex].
Substituindo estes resultados na expressão, teremos:
[tex]2\cdot\dfrac{7}{3}-3\cdot\dfrac{4}{3}[/tex]
Multiplique e some os valores
[tex]\dfrac{14}{3}-\dfrac{12}{3}\\\\\\ \dfrac{14-12}{3}\\\\\\ \dfrac{2}{3}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado da expressão que buscávamos.
