Olá, boa tarde.
Devemos resolver a seguinte integral:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+x^4}\,dx}[/tex]
Observe que podemos reescrever a potência [tex]x^4=(x^2)^2[/tex], de modo que tenhamos:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+(x^2)^2}\,dx}[/tex]
Faça uma substituição [tex]u=x^2[/tex]. Diferenciamos ambos os lados da igualdade para encontrarmos o diferencial [tex]du[/tex]:
[tex](u)'=(x^2)'[/tex]
Para calcular esta derivada, lembre-se que:
Calcule as derivadas
[tex]1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot x^{2-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x[/tex]
Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]du=2x\,dx[/tex]
Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]2[/tex]
[tex]\dfrac{du}{2}=x\,dx[/tex]
Observe que este elemento já está presente na integral. Logo, teremos:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{\left(\dfrac{du}{2}\right)}{1+u^2}[/tex]
Calcule a fração de frações e aplique a linearidade: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int \dfrac{du}{1+u^2}[/tex]
Calcule a integral imediata: [tex]\displaystyle{\int \dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C,~a\neq0[/tex]
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1}\cdot\arctan\left(\dfrac{u}{1}\right)+C[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=x^2[/tex] e multiplique os termos
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(x^2)+C,~C\in\mathbb{R}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta integral.
