Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), que chamamos de solução nula ou trivial. O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogêneo. Assim, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), que chamamos de solução nula ou trivial. O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogêneo. Assim, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
I)Neste sistema, temos que necessariamente, x=y=0.
II)Neste sistema, temos que necessariamente, x=y e m=n.
III)Neste sistema, temos que necessariamente, y= -2x e n= -2m
IV)Neste sistema, temos que necessariamente, x=-2y e m=-2n.

Com base no estudo de sistemas lineares homogêneos temos como resposta a alternativa IV)Neste sistema, temos que necessariamente, x=-2y e m=-2n.

Sistema linear homogêneo

É todo sistema linear formado exclusivamente por equações lineares com termo independente igual a zero. Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite como solução a ênupla (0 , 0, 0, ...., 0), chamada de solução trivial do sistema.

Observação: Todo sistema linear homogêneo é sempre possível.

Exemplo: Resolver o seguinte sistema linear homogêneo

[tex]\left[\begin{array}{ccc}x+2y-3z=0\\3x-y+2z=0\\2x-3y+5z=0\end{array}\right[/tex]

Multiplicando a 1ª equação por (-3) e somando com a 2ª equação
Multiplicando a 1ª equação por (-2) e somando com a 3ª equação teremos

[tex]\left[\begin{array}{ccc}x+2y-3z=0\\0x-7y+11z=0\\0x-7y+11z=0\end{array}\right[/tex]

Multiplicando a 2ª equação por (-1) e somando com a 3ª equação teremos

[tex]\left[\begin{array}{ccc}x+2y-3z=0\\0x-7y+11z=0\\0x-0y+0z=0\end{array}\right[/tex]

Que é semelhante ao seguinte sistema

[tex]\left[\begin{array}{ccc}x+2y-3z=0\\-7y+11z=0\\\end{array}\right[/tex]

Resolvendo esse último sistema em função da variável livre z, teremos

x + 2y - 3z = 0 (I)
y = 11z/7 (II)

Substituindo (II) em (I)

x + 2.(11z/7) - 3z = 0 ⇒ x = -z/7

Portanto, a solução do nosso exemplo é S = {(-z/7, 11z/7, z), com z ∈ IR}

Estamos prontos para resolver o exercício

2x + 4y = 0
2m + 4n = 0

Da equação (I) temos: x = -2y

Da equação (II) temos: m = -2n

Saiba mais sobre sistema linear:https://brainly.com.br/tarefa/26237559

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