As raízes do polinômio são -1, 1, [tex]\frac{-1-\sqrt{5} }{2}[/tex] e [tex]\frac{-1+\sqrt{5} }{2}[/tex].
Algoritmo de Briot-Ruffini
(I) Montando o alinhamento de Briot-Ruffini com o divisor 1 e todos os coeficientes da equação de quarto grau:
1 | 1 1 -2 -1 1
Iniciando a decomposição "abaixando" o 1 na primeira posição da segunda linha dos coeficientes.
[tex]1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + 1 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 2
[tex]1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: -2 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + (-2) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0
[tex]1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: 0 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + (-1) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = (-1)
[tex]1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0-(-1)[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: (-1) (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + 1 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0
[tex]1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0-(-1)-0[/tex]
Assim, a equação decomposta equivalente à equação dada será x³ + 2x² + 0x - 1 = 0.
(II) Montando o alinhamento de Briot-Ruffini com o divisor (-1) e todos os coeficientes da equação de terceiro grau:
-1 | 1 2 0 -1
Iniciando a decomposição "abaixando" o 1 na primeira posição da segunda linha dos coeficientes.
[tex]-1|1-2-0-(-1)\\-1|1[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + 2 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 1
[tex]-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + 0 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = -1
[tex]-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1-(-1)[/tex]
Aplicando Briot-Ruffini: (-1) (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + (-1) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0
[tex]-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1-(-1)-0[/tex]
Assim, a equação decomposta equivalente à equação dada será x² + x - 1 = 0
(III) Resolvendo a equação do segundo grau por Fórmula de Bháskara:
[tex]x=\frac{-b^+_-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}[/tex]
[tex]x=\frac{-1^+_-\sqrt{1^2-4(1)(-1)} }{2(1)}[/tex]
[tex]x=\frac{-1^+_-\sqrt{1-(-4)} }{2}[/tex]
[tex]x=\frac{-1^+_-\sqrt{5} }{2}[/tex]
∴ As raízes do polinômio são -1, 1, [tex]\frac{-1-\sqrt{5} }{2}[/tex] e [tex]\frac{-1+\sqrt{5} }{2}[/tex].
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