Seja uma Equação quadrática qualquer [tex]\text{a.x}^2+\text{b.x}+\text c[/tex] . Para que ela não possua raízes reais, basta que o [tex]\Delta[/tex] (discriminante) Seja menor que 0, onde :
[tex]\Delta \to \text b^2-4.\text{a.c}[/tex]
Temos :
[tex]4\text x^2-4\text x - \text k[/tex]
Fazendo [tex]\Delta < 0[/tex] :
[tex](-4)^2-4.4.(-\text k )<0[/tex]
[tex]16+16\text k <0[/tex]
[tex]16\text k <-16[/tex]
[tex]\huge\boxed{\text k <-1}\checkmark[/tex]
✅ Após de resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" que deixa a função quadrática sem raízes reais é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k < -1\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função do segundo grau:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = 4x^{2} - 4x - k\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes são:
[tex]\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4\\c = -k\end{cases}[/tex]
Para que o gráfico da referida função não possua pontos comuns ao eixo das abscissas, isto é, não possuas raízes reais, o valor de seu discriminante - delta - deve ser menor que "0". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \Delta < 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b^{2} - 4ac < 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (-4)^{2} - 4\cdot4\cdot(-k) < 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 16 + 16k < 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 16k < -16\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k < -\frac{16}{16}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
