Dada a matriz quadrada M do tipo 3x3 abaixo:
[tex]\begin{array}{l}\sf M=\left[\begin{array}{ccc}\sf1&\sf2&\sf3\\\sf0&\sf\!\!\!\!-1&\sf4\\\sf\!\!\!\!\!-3&\sf0&\sf1\end{array}\right] \end{array}[/tex]
, queremos calcular os cofatores ligados aos elementos nas alternativas da questão.
Primeiro devemos determinar o menor complementar (mc), e para isso precisamos eliminar a linha e a coluna do elemento em questão, formando uma nova matriz quadrada do tipo 2x2 (essa matriz será o menor complementar).
A partir dela calculamos seu determinante (Dᵢⱼ) e ai é só ''jogar'' na fórmula que determinará o cofator:
[tex]\boxed{\begin{array}{l}\sf C_{ij}=(-1)^{\:i\:+\:j}~\cdot~D_{ij}\end{array}}[/tex]
Onde nela temos que:
- i e j → linha e coluna em que o elemento se situa;
- Cᵢⱼ → cofator ligado ao elemento;
- Dᵢⱼ → determinante do menor complementar, ligado ao elemento.
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Agora vamos colocar em prática tudo o que eu expliquei.
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Letra a) C₁₁
→ Queremos determinar o cofator ligado ao elemento m₁₁. Eliminando a linha 1 e coluna 1 obtemos:
[tex]\begin{array}{l}\sf D_{11}=\left|\begin{array}{ccc}\sf\!\!\!\!-1&\sf4\\\sf0&\sf1\end{array}\right|\\\\\sf D_{11}=-1\cdot1-(4\cdot0)\\\\\sf D_{11}=-1-(0)\\\\\sf D_{11}=-1\end{array}[/tex]
→ Dessa forma:
[tex]\begin{array}{l}\sf C_{11}=(-1)^{\:1\:+\:1}~\cdot~D_{11}\\\\\sf C_{11}=(-1)^{\:2}\cdot(\!\!\:-1)\\\\\sf C_{11}=1\cdot(-1)\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf C_{11}=-1}}\end{array}[/tex]
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Letra b) C₃₂
→ Queremos determinar o cofator ligado ao elemento m₃₂. Eliminando a linha 3 e coluna 2 obtemos:
[tex]\begin{array}{l}\sf D_{32}=\left|\begin{array}{ccc}\sf1&\sf0\\\sf3&\sf4\end{array}\right|\\\\\sf D_{32}=1\cdot4-(0\cdot3)\\\\\sf D_{32}=4-(0)\\\\\sf D_{32}=4\end{array}[/tex]
→ Dessa forma:
[tex]\begin{array}{l}\sf C_{32}=(-1)^{\:3\:+\:2}~\cdot~D_{32}\\\\\sf C_{32}=(-1)^{\:5}\cdot4\\\\\sf C_{32}=-1\cdot4\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf C_{32}=-4}}\end{array}[/tex]
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Letra c) C₂₂
→ Queremos determinar o cofator ligado ao elemento m₂₂. Eliminando a linha 2 e coluna 2 obtemos:
[tex]\begin{array}{l}\sf D_{22}=\left|\begin{array}{ccc}\sf1&\sf3\\\sf\!\!\!\!-3&\sf1\end{array}\right|\\\\\sf D_{22}=1\cdot1-[3\cdot(-3)]\\\\\sf D_{22}=1-(-9)\\\\\sf D_{22}=1+9\\\\\sf D_{22}=10\end{array}[/tex]
→ Dessa forma:
[tex]\begin{array}{l}\sf C_{22}=(-1)^{\:2\:+\:2}~\cdot~D_{22}\\\\\sf C_{22}=(-1)^{\:4}\cdot10\\\\\sf C_{22}=1\cdot10\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf C_{22}=10}}\end{array}[/tex]
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Letra d) C₁₂
→ Queremos determinar o cofator ligado ao elemento m₁₂. Eliminando a linha 1 e coluna 2 obtemos:
[tex]\begin{array}{l}\sf D_{12}=\left|\begin{array}{ccc}\sf0&\sf4\\\sf\!\!\!\!-3&\sf1\end{array}\right|\\\\\sf D_{12}=0\cdot1-[4\cdot(-3)]\\\\\sf D_{12}=0-(-12)\\\\\sf D_{12}=12\end{array}[/tex]
→ Dessa forma:
[tex]\begin{array}{l}\sf C_{12}=(-1)^{\:1\:+\:2}~\cdot~D_{12}\\\\\sf C_{12}=(-1)^{\:3}\cdot12\\\\\sf C_{12}=-1\cdot12\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf C_{12}=-12}}\end{array}[/tex]
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