A questão trata-se de relações de Girard de um polinômio. As relações de Girard são um resultado imediato da definição de polinômio por raízes,
[tex]p(x) =a_nx^n+\dots+a_1x+a_0 \equiv a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)[/tex]
Onde [tex]x_i[/tex] é a i-ésima raiz de p. As relações se dão quando abrimos a expressão da direita, multiplicando os termos. Vamos fazer para o caso de um polinômio de grau 4,
[tex](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \\\\\\= x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+\\\\+ (x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2-\\\\-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x+\\\\x_1x_2x_3x_4[/tex]
Deste modo, obtemos que se o polinômio pode ser escrito como
[tex]x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
[tex]a_3 =-(x_1+x_2+x_3+x_4)\\\\a_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)\\\\a_1-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)\\\\a_0 = x_1x_2x_3x_4[/tex]
Deste modo, dado o polinômio
[tex]x^4+4x^3+5x^2-x+2[/tex]
A soma das raízes é igual à menos o termo de x³, portanto,
[tex]S = -a_3 = -4[/tex]
Enquanto o produto é dado pelo termo independente,
[tex]P = a_0 = 2[/tex]
