6.1.
Podemos formar um triângulo retângulo com os lados ABC, onde os catetos medem o comprimento [tex]l[/tex] do lado do cubo enquanto a hipotenusa é a distância entre A e C. Ficamos então com:
[tex]l^2+l^2=(4-1)^2+[0-(-5)]^2+(-4-4)^2[/tex]
[tex]2l^2=9+25+36[/tex]
[tex]2l^2=98[/tex]
[tex]l^2=49[/tex]
[tex]l=7[/tex]
Sendo [tex]V=l^3[/tex], concluímos que [tex]V=7^3=343\;\text{u.v}[/tex]
6.2.
Considerando [tex]E=(x_E,y_E,z_E)[/tex], os vetores [tex]\vec{AE}=(x_E-1,y_E+5,z_E-4)[/tex] e [tex]\vec{CG}=(2-4,6-0,-1-(-4))=(-2,6,3)[/tex] são paralelos, logo deve existir um número real [tex]k[/tex] tal que:
[tex]\vec{AE}=k\cdot\vec{CG}[/tex]
[tex](x_E-1,y_E+5,z_E-4)=(-2k,6k,3k)[/tex]
[tex]x_E-1=-2k;\\y_E+5=6k;\\z_E-4=3k[/tex]
A distância entre os pontos A e E deve ser igual a [tex]l=7[/tex], logo:
[tex](x_E-1)^2+(y_E+5)^2+(z_E-4)^2=7^2[/tex]
[tex](-2k)^2+(6k)^2+(3k)^2=49[/tex]
[tex]4k^2+36k^2+9k^2=49[/tex]
[tex]49k^2=49[/tex]
[tex]k^2=1[/tex]
[tex]k=\pm1[/tex]
Achamos então que [tex]E=(-1,1,7)[/tex] ou [tex]E=(1,-11,1)[/tex]. Para definirmos qual destes é o verdadeiro, vamos lembrar do fato que a distância [tex][AC]=[EG][/tex], logo:
[tex](x_E-2)^2+(y_E-6)^2+[z_E-(-1)]^2=98[/tex]
[tex](x_E-2)^2+(y_E-6)^2+(z_E+1)^2=98[/tex]
Para [tex]y_E=-11[/tex], temos que [tex](y_E-6)^2=17^2[/tex] e como [tex]17^2>98[/tex], esse resultado não é válido. Ficamos então com [tex]E=(-1,1,7)[/tex]
6.3.
Como foi visto em 6.1., a distância [tex][AC]=\sqrt{98}\;\text{u.c}[/tex], logo o raio da superfície é a metade desse valor, ou seja, [tex]r=\sqrt{98}/2\;\text{u.c}[/tex]. Da mesma forma, o centro da superfície é o ponto médio entre A e C, logo:
[tex]P_m=\left(\frac{1+4}{2},\frac{-5+0}{2},\frac{4+(-4)}{2}\right)[/tex]
[tex]P_m=\left(\frac{5}{2},\frac{-5}{2},0\right)[/tex]
Obtendo assim a seguinte equação para a superfície:
[tex]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\left(z-0\right)^2=r^2[/tex]
[tex]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\left(\frac{\sqrt{98}}{2}\right)^2[/tex]
[tex]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{98}{4}[/tex]
[tex]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{49}{2}[/tex]
